（选修）边际误差计算

在本选修部分，我们将会计算 SVM 中两个间隔之间的距离。

首先， W = (w_1, w_2) ， x = (x_1,x_2) ，并且 Wx = w_1x_1 + w_2x_2 .

请注意，在这里我们有三条线，方程如下：

• Wx+b=1
• Wx+b=0
• Wx+b=-1

由于这三条线为等距平行线，要想确定第一条线和第三条线之间的距离，我们只需要计算前两条线之间的距离，接着将这个数字乘以二。这也就是说我们需要确定图 1 中前两条线之间的距离。

请注意，由于我们只需计算线条之间的距离，因此也可以将线条平移，直到其中一条线与原点相交（图 2）。这时得到的方程如下：

• Wx=0
• Wx=1

现在，第一条线的方程为 Wx=0 ，这意味着它与标记为红色的向量（图 3） W = (w_1, w_2) 垂直。

该向量与方程为 Wx=1 的线条相交于蓝点（图 4）。假设该点的坐标为 (p,q) 。那么我们可以得到下面两个结果：

• w_1p + w_2q = 1 （由于该点位于这条线上），并且
• 由于该点位于向量 W = (w_1, w_2) 上， (p,q) 是 (w_1, w_2) 的倍数。

我们可以这样求解这个方程：对于某个 k 值而言，有 (p,q) = k(w_1, w_2) 。那么我们的第一个方程将被转换为 k(w_1^2 + w_2^2) = 1. 。因此， k = \frac{1}{w_1^2+w_2^2} = \frac{1}{|W|^2} 。这也就是说，蓝点表示向量 \frac{W}{|W|^2} ，如图 4 所示。

现在，两条线之间的距离是蓝色向量的范数。由于分母是一个标量，向量 \frac{W}{|W|^2} 的范数正是 \frac{|W|}{|W|^2} ，与 \frac{1}{|W|} （图 5）相同。

最后，最终距离是这连续两条平行线（图 6）之间的距离之和。由于每两条线之间的距离为 \frac{1}{|W|} ，那么总距离为 \frac{2}{|W|} 。